Kelly criterion ve sázení: Vzorec pro optimální velikost každé sázky

Když jsem poprvé narazil na Kelly criterion, měl jsem pocit, že jsem našel svatý grál sázení. Vzorec, který vám řekne přesně kolik vsadit na každou sázku, aby rostl bankroll optimální rychlostí. Po prvním měsíci používání jsem ale zjistil, že plný Kelly je jako sporťák na okresní silnici – matematicky perfektní, prakticky riskantní. A právě proto jsem se naučil ho upravovat.

Kelly criterion vyvinul v roce 1956 John Larry Kelly Jr. v Bell Labs. Původně šlo o teorii přenosu informací, ale sázkový svět ho adoptoval, protože řeší fundamentální otázku: jak velká sázka maximalizuje dlouhodobý růst bankrollu, aniž by vás zruinovala?

Vzorec Kelly criterion a jeho složky

Vzorec je překvapivě jednoduchý. Kelly % = (bp – q) / b. Kde b je decimální kurz minus 1 (čistý zisk na jednotku sázky), p je vaše odhadovaná pravděpodobnost výhry a q je pravděpodobnost prohry (1 – p).

Příklad: kurz 2.50 na výhru domácích. Vy odhadujete pravděpodobnost na 45 %. b = 2.50 – 1 = 1.50. p = 0.45. q = 0.55. Kelly % = (1.50 * 0.45 – 0.55) / 1.50 = (0.675 – 0.55) / 1.50 = 0.0833. Tedy 8,33 % bankrollu.

Co vám vzorec říká: čím větší je váš edge (rozdíl mezi vaším odhadem a implicitní pravděpodobností kurzu), tím větší sázku Kelly doporučuje. Při nulovém edge (váš odhad = implicitní pravděpodobnost) vychází Kelly na nulu – nesázejte. Při záporném edge vychází Kelly záporně – taky nesázejte, protože sázka nemá hodnotu.

Krása vzorce je v tom, že automaticky reguluje agresivitu. Na sázku s velkým edge vsadíte víc, na sázku s malým edge méně. To je přesně to, co intuitivní sázení nedokáže – většina lidí sází konstantní částku bez ohledu na sílu svého názoru.

Důležitý detail: Kelly funguje pouze pro sázky s kladnou očekávanou hodnotou. Pokud nemáte edge – tedy pokud váš odhad pravděpodobnosti nepřevyšuje implicitní pravděpodobnost v kurzu – vzorec vám řekne nesázet. To je sám o sobě cenný výstup. Kolikrát jste vsadili na zápas, kde jste neměli žádnou analytickou výhodu? Kelly by vás od toho odradil.

Výpočet krok za krokem na reálném zápase

Vezměme reálnou situaci. Zápas Bundesligy, domácí tým s xG 1.8 za posledních pět domácích zápasů proti hostům s xGA 1.6 venku. Po analýze odhadujete pravděpodobnost výhry domácích na 52 %. Bookmaker nabízí kurz 2.10.

Implicitní pravděpodobnost kurzu: 1/2.10 = 47,6 %. Váš odhad: 52 %. Edge: 4,4 procentního bodu. Je to value bet? Ano. Kolik vsadit?

b = 2.10 – 1 = 1.10. p = 0.52. q = 0.48. Kelly % = (1.10 * 0.52 – 0.48) / 1.10 = (0.572 – 0.48) / 1.10 = 0.0836. Kelly říká: vsaďte 8,36 % bankrollu. Při bankrollu 10 000 Kč je to 836 Kč.

Teď si to porovnejte s intuitivním přístupem. Většina sázkařů by na tento zápas vsadila buď 500 Kč (pocitově „bezpečná“ částka), nebo 2000 Kč (protože „jsem si jistý“). Kelly říká 836 Kč – ani příliš málo, ani příliš moc. Přesně podle velikosti vašeho edge. To je síla systematického přístupu.

xG model na 11 sezónách Bundesligy ukázal ROI kolem 10 % při průměrných kurzech a až 15 % při nejlepších dostupných cenách. Pokud byste na takové sázky aplikovali Kelly criterion, bankroll by rostl efektivně a zároveň by přežil nevyhnutelné proherní série. To je síla vzorce – ne že vám řekne co sázet, ale kolik.

Fractional Kelly: proč sázet méně než vzorec říká

Po třech měsících plného Kelly jsem zažil pokles bankrollu o 40 %. Matematicky to bylo v rámci očekávání. Psychicky to bylo na hraně únosnosti. A právě proto většina profesionálních sázkařů používá fractional Kelly – typicky poloviční nebo čtvrtinový.

Half Kelly znamená, že vezmete výsledek vzorce a vydělíte dvěma. V našem příkladu místo 8,36 % vsadíte 4,18 % bankrollu. Růst bankrollu je pomalejší, ale propady jsou výrazně menší. Quarter Kelly (čtvrtina) je ještě konzervativnější – sázíte 2,09 % bankrollu.

Proč to funguje? Protože Kelly criterion předpokládá, že váš odhad pravděpodobnosti je přesný. V realitě nikdy není. Pokud odhadujete 52 % a skutečná pravděpodobnost je 49 %, plný Kelly vás vede k příliš velkým sázkám na situaci, která nemá value. Fractional Kelly vytváří bezpečnostní polštář pro nepřesnost vašeho modelu.

Průměrná marže českých kanceláří 4-5 % na hlavních trzích znamená, že váš edge je často malý – řekněme 2-5 procentních bodů. Na takto malé hrany je fractional Kelly téměř povinností. Plný Kelly na edge 3 % generuje volatilitu, kterou většina sázkařů psychicky nezvládne.

Moje osobní praxe: používám quarter Kelly a výsledky za poslední dvě sezóny potvrzují, že je to dostatečně agresivní na slušný růst a dostatečně konzervativní na klidný spánek. Bankroll nikdy neklesl o více než 15 % od maxima.

Kdy Kelly criterion nefunguje

Kelly má dvě zásadní slabiny. První: vyžaduje přesný odhad pravděpodobnosti. Pokud systematicky nadhodnocujete svou schopnost předpovídat výsledky, Kelly vás dožene k příliš velkým sázkám. A většina sázkařů své schopnosti nadhodnocuje – to je lidská přirozenost.

Druhá slabina: Kelly nepočítá s korelací mezi sázkami. Pokud sázíte tři zápasy v jeden den, Kelly doporučení pro každou sázku předpokládá nezávislost. Jenže pokud sázíte over na tři zápasy v téže lize a prší, nejsou nezávislé. V takových situacích je lepší snížit celkovou expozici pod součet jednotlivých Kelly doporučení. Praktické pravidlo, které používám: pokud mám v jeden den víc než tři aktivní sázky, celkovou expozici omezuji na maximálně 15 % bankrollu bez ohledu na to, co říká součet Kelly hodnot.

Kelly také nefunguje na akumulátory. Vzorec je navržený pro sólo sázky, kde je výsledek binární. U akumulátoru se pravděpodobnosti násobí a malé chyby v odhadech se projeví mnohem výrazněji. Pro akumulátory doporučuji fixní nízké procento bankrollu – maximálně 1-2 %, bez ohledu na to, jak atraktivně vypadají kurzy.

Přes všechny limity je Kelly criterion nejlepší dostupný nástroj pro správu bankrollu u sázkařů, kteří pracují s daty. Není dokonalý, ale je výrazně lepší než intuitivní sázení „pocitové“ částky. A v sázení, kde malé výhody rozhodují, je „výrazně lepší“ dost na to, aby udělalo rozdíl.